Ecritures littrales

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. Ecritures littrales

   yahia 06, 2008 7:07 pm

I. Dveloppement (rvisions)
Dfinition :
Dvelopper un produit, c'est le transformer en une somme ou une diffrence.
Proprits :
Pour tous nombres a, b, c, d et k, on a : produit somme ou diffrence
k(a + b) = ka + kb
k(a - b) = ka - kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd


Exemple : Dvelopper l'expression A = .
A = +
A = +




II. Identits remarquables
1. Carr d'une somme
Proprit :
Pour tous nombres a et b, on a : (a + b) = a + 2ab + b
Dmontrons ce rsultat :
par le calcul, en utilisant la double distributivit :
(a + b) = (a + b)(a + b) = a a + a b + b a + b b = a + ab + ab + b = a + 2ab + b

en utilisant la gomtrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut tablir l'galit en considrant la figure ci-dessous :

ABCD est un carr de ct a + b, AEFG est un carr de ct a, FHCI est un carr de ct b, EBHF et GFID sont deux rectangles de largeur a et de longueur b.
Exprimons de deux manires diffrentes l'aire du carr ABCD :
ABCD est un carr de ct a + b, donc = (a + b)
ou :

= a + a b + b + a b
= a + 2ab + b
D'o : (a + b) = a + 2ab + b
Exemples :
Dvelopper :


Calculer :
11 = (10 + 1) = 10 + 2 10 1 + 1 = 100 + 20 + 1 = 121
13 = (10 + 3) = 10 + 2 10 3 + 3 = 100 + 60 + 9 = 169
22 = (20 + 2) = 20 + 2 20 2 + 2 = 400 + 80 + 4 = 484
101 = (100 + 1) = 100 + 2 100 1 + 1 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201


2. Carr d'une diffrence
Proprit :
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b) = a - 2ab + b
Dmontrons ce rsultat :
par le calcul, en utilisant la double distributivit :
(a - b) = (a - b)(a - b) = a a - a b - b a + b b = a - ab - ab + b = a - 2ab + b

en utilisant la gomtrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut tablir l'galit en considrant la figure ci-dessous :

EHCG est un carr de ct a, EIAF est un carr de ct b, ABCD est un carr de ct (a - b) et IHBA et ADGF sont deux rectangles de largeur b et de longueur (a - b).
Exprimons de deux manires diffrentes l'aire du carr ABCD :
ABCD est un carr de ct a - b, donc = (a - b)
ou :

= a - b - b (a - b) - b (a - b)
= a - b - ba + b - ba + b
= a - 2ab + b
D'o : (a - b) = a - 2ab + b
Exemples :
Dvelopper :


Calculer :
99 = (100 - 1) = 10 - 2 100 1 + 1 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801


3. Produit d'une diffrence par une somme
Proprit :
Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)(a + b) = a - b
Dmontrons ce rsultat :
par le calcul, en utilisant la double distributivit :
(a - b)(a + b) = a a + a b - b a - b b = a - b

en utilisant la gomtrie :
Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut tablir l'galit en considrant la figure ci-dessous :

ABCD est un rectangle de longueur (a + b) et de largeur a, AEGF est un rectangle de largeur b et de longueur a, GHCI est un rectangle de longueur (a - b) et de largeur b et FGID est un carr de ct b.
Exprimons de deux manires diffrentes l'aire du rectangle EBCI :
EBCI est un un rectangle de longueur (a + b) et de largeur (a - b), donc = (a - b)(a + b)
ou :

= a(a + b) - ba - b
= a + ab - ab - b
= a - b
D'o : (a - b)(a + b) = a - b
Exemples :
Dvelopper :


Calculer :
99 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100 - 1 = 10 000 - 1 = 9 999
21 19 = (20 + 1)(20 - 1) = 20 - 1 = 400 - 1 = 399
32 28 = (30 + 2)(30 - 2) = 30 - 2 = 900 - 4 = 896





III. Factorisation
Dfinition :
Factoriser une somme ou une diffrence, c'est la transformer en un produit.


1. Reconnatre un facteur commun
Exemples : Factorisons les expressions suivantes :
est le facteur commun

est le facteur commun


est le facteur commun



2. Reconnatre une identit remarquable
Exemples : Factorisons les expressions suivantes :

de la forme a + 2 a b + b, avec a = et b = 5, donc :



F est de la forme a - 2 a b + b, avec a = et b = 7, donc :



de la forme a - b, avec a = et b = 6, donc :


de la forme a - b avec a = et b =
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