Système de deux équations du premier degré à deux inconnues
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Système de deux équations du premier degré à deux inconnues
Les trois méthodes de résolution
Première méthode : Méthode de substitution
Substituer, c'est remplacer par ( mettre à la place de ).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant : 3 x + y = 7
2 x - 3 y = 1
Première étape : 3 x + y = 7 (1)
2 x - 3 y = 1 (2)
Isoler y dans l'équation (1)
Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2) y = ...................... (1')
2 x - 3 (..............) = 1
Deuxième étape : Conserver l'équation (1')
Effectuer les calculs dans l'équation (2) y = ......................
...................... = 1
y = ......................
...................... = 1
Troisième étape : Conserver l'équation (1')
Calculer la valeur de x y = ......................
...................................
y = ......................
...................................
Quatrième étape : Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y
Conserver la valeur de x y = ...................
x = ....................
y = ...................
x = ....................
CONCLUSION : x =
y =
ou S = {( ; )}
Phrase de conclusion : Le système 3 x + y = 7
2 x - 3 y = 1
admet pour solution ( ; ) .
Vérification :
Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)
Résoudre le système (1) 3 x + 2 y = 7
(2) 5 x - 2 y = 1
Remarque :
Coefficient de y dans (1) : ...........
Coefficient de y dans (2) : ...........
Ce sont deux nombres ........................
Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .
Première étape : Ecrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2) ==>
Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>
x =
Deuxième étape Conserver la valeur de x ==>
Remplacer x par sa valeur et calculer y ==>
x =
x =
x =
x =
CONCLUSION : x =
y =
ou S = {( ; )}
Phrase de conclusion : Le système 3 x + 2 y = 7
5 x - 2 y = 1
admet pour solution ( ; ) .
Vérification :
Troisième méthode : Méthode graphique
Résoudre le système suivant : 2 x - y = - 1 (1)
x + y = 1 (2)
L'équation (1) est celle de la droite D1. La droite D1 est d'équation y = .............
L'équation (2) est celle de la droite D2. La droite D2 est d'équation y = .............
Tracer les droites D1 et D2 sur le même graphique .
a) Tableau de valeurs : D1 : y = .............
x
y
D2 : y = .............
x
y
b) Représentation graphique :
Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites . I ( ....... ; ......... ) .
c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .
x =
y =
ou S = {( ; )}
Phrase de conclusion : Le système 2 x - y = -1
x + y = 1
admet pour solution ( ; ) .
Vérification :
Exercice 1
a) Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution . 5 x + y = 3
6 x + 2 y = -2
2 x + 3 y = 7
y = 5 x
x = 2 y
x + y = 1
19 x + 7 y = 26
- x + 3 y = 2
b) Résoudre les systèmes suivants par la méthode d'addition . (1)
(2) 3 x + 2 y = 7
6 x - 5 y = - 4
×_______
Ecrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1)
pour que les coefficients de x soient opposés .
Ecrire le nouveau système et le résoudre . (1)
(2) 3 x + 2 y = 7
6 x - 5 y = - 4
×_______
×_______ Ecrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les
deux équations pour que les coefficients de y soient opposés .
Ecrire le nouveau système et le résoudre . Vérifier avec le résultat trouvé précédemment .
Exercice 2
Résoudre 3 x + 7 y = 44
5 x - 11 y = - 40
Choisir les coefficients par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les x aient des coefficients opposés . Effectuer ces produits et écrire le nouveau système. Ecrire l'équation obtenue en additionnant membre à membre les deux équations du nouveau système . Elle permet de calculer y. Calculer alors la valeur de x .
Première méthode : Méthode de substitution
Substituer, c'est remplacer par ( mettre à la place de ).
Suivre les indications pour résoudre le système suivant : 3 x + y = 7
2 x - 3 y = 1
Première étape : 3 x + y = 7 (1)
2 x - 3 y = 1 (2)
Isoler y dans l'équation (1)
Remplacer y par sa valeur dans l'équation (2) y = ...................... (1')
2 x - 3 (..............) = 1
Deuxième étape : Conserver l'équation (1')
Effectuer les calculs dans l'équation (2) y = ......................
...................... = 1
y = ......................
...................... = 1
Troisième étape : Conserver l'équation (1')
Calculer la valeur de x y = ......................
...................................
y = ......................
...................................
Quatrième étape : Remplacer x dans (1') par la valeur trouvée, et calculer y
Conserver la valeur de x y = ...................
x = ....................
y = ...................
x = ....................
CONCLUSION : x =
y =
ou S = {( ; )}
Phrase de conclusion : Le système 3 x + y = 7
2 x - 3 y = 1
admet pour solution ( ; ) .
Vérification :
Deuxième méthode : Méthode d'addition (ou combinaison linéaire)
Résoudre le système (1) 3 x + 2 y = 7
(2) 5 x - 2 y = 1
Remarque :
Coefficient de y dans (1) : ...........
Coefficient de y dans (2) : ...........
Ce sont deux nombres ........................
Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités .
Première étape : Ecrire l'équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2) ==>
Conserver l'une des deux équations ( (1) ou (2) ) ==>
x =
Deuxième étape Conserver la valeur de x ==>
Remplacer x par sa valeur et calculer y ==>
x =
x =
x =
x =
CONCLUSION : x =
y =
ou S = {( ; )}
Phrase de conclusion : Le système 3 x + 2 y = 7
5 x - 2 y = 1
admet pour solution ( ; ) .
Vérification :
Troisième méthode : Méthode graphique
Résoudre le système suivant : 2 x - y = - 1 (1)
x + y = 1 (2)
L'équation (1) est celle de la droite D1. La droite D1 est d'équation y = .............
L'équation (2) est celle de la droite D2. La droite D2 est d'équation y = .............
Tracer les droites D1 et D2 sur le même graphique .
a) Tableau de valeurs : D1 : y = .............
x
y
D2 : y = .............
x
y
b) Représentation graphique :
Relever les coordonnées du point I, intersection des deux droites . I ( ....... ; ......... ) .
c) Conclusion :
Le point I est situé simultanément sur les deux droites . Ses coordonnées vérifient les deux équations et sont solutions du système proposé .
x =
y =
ou S = {( ; )}
Phrase de conclusion : Le système 2 x - y = -1
x + y = 1
admet pour solution ( ; ) .
Vérification :
Exercice 1
a) Résoudre les systèmes suivants par la méthode de substitution . 5 x + y = 3
6 x + 2 y = -2
2 x + 3 y = 7
y = 5 x
x = 2 y
x + y = 1
19 x + 7 y = 26
- x + 3 y = 2
b) Résoudre les systèmes suivants par la méthode d'addition . (1)
(2) 3 x + 2 y = 7
6 x - 5 y = - 4
×_______
Ecrire ici le nombre par lequel il faut multiplier l'équation (1)
pour que les coefficients de x soient opposés .
Ecrire le nouveau système et le résoudre . (1)
(2) 3 x + 2 y = 7
6 x - 5 y = - 4
×_______
×_______ Ecrire ici les nombres par lesquels il faut multiplier les
deux équations pour que les coefficients de y soient opposés .
Ecrire le nouveau système et le résoudre . Vérifier avec le résultat trouvé précédemment .
Exercice 2
Résoudre 3 x + 7 y = 44
5 x - 11 y = - 40
Choisir les coefficients par lesquels il faut multiplier les deux équations pour que les x aient des coefficients opposés . Effectuer ces produits et écrire le nouveau système. Ecrire l'équation obtenue en additionnant membre à membre les deux équations du nouveau système . Elle permet de calculer y. Calculer alors la valeur de x .
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