Thorme de Thals

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. Thorme de Thals

   yahia 06, 2008 7:30 pm

I. Thorme de Thals
1. Rappel (4me)

Dans un triangle ABC,
si M est un point du ct [AB], N un point du ct [AC],
et si les droites (BC) et (MN) sont parallles, alors :

Autre configuration connue :


2. Exercice dcouverte : nouvelle configuration de Thals
On considre la figure suivante : Les droites (d) et (d) sont scantes en A ;
B et M sont deux points de la droite (d), distincts de A ;
C et N sont deux points de la droite (d), distincts de A ;
les droites (BC) et (MN) sont parallles.
a) Par la symtrie de centre A, construire les points M et N, symtriques respectifs des points M et N.
b) Que peut-on dire des droites (MN) et (BC) ? Expliquer.
c) Expliquer pourquoi AM = AM, AN = AN et MN = MN.
d) Expliquer pourquoi .
Solution :
a)


b) On sait que les points M et N sont les symtriques respectifs des points M et N par rapport au point A. Donc (MN) est la symtrique de (MN) par rapport A.
Or, la symtrique dune droite par rapport un point est une droite parallle.
On en dduit que les droites (MN) et (MN) sont parallles.
De plus, on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallles.
Or, si deux droites sont parallles, alors toute parallle lune est parallle lautre.
On en conclut que les droites (MN) et (BC) sont parallles.
c) On sait que M est le symtrique de M par rapport A, donc AM = AM.
On sait que N est le symtrique de N par rapport A, donc AN = AN.
Les segments [MN] et [MN] sont symtriques par rapport A. Or, la symtrie centrale conserve les longueurs, donc MN = MN.

d) Dans le triangle ABC, M est un point du ct [AB], N est un point du ct [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallles, alors .
Or, on a montr que AM = AM, AN = AN et que MN = MN, donc : .



3. Conclusion
Les trois configurations de Thals :
Thorme de Thals :
Soient (d) et (d) sont deux droites scantes en A,
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de la droite (d), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallles, alors : .



4. Exemple
Sur la figure ci-dessus, on donne :
AB = 6 cm, AN = 4cm, AC = 12 cm, MN = 3 cm.
Les droites (BC) et (MN) sont parallles.
Calculer AM, puis BC.
Solution :
Les droites (BN) et (CN) sont scantes en A, les droites (BC) et (MN) sont parallles.
Donc, daprs le thorme de Thals, on a : ,
cest--dire : .
De , on dduit que : AM =
Donc : AM = 8 cm
De , on dduit que : BC =
Donc : BC = 4,5 cm



II. Rciproque du thorme de Thals
Donnes :

A, B, M et A, C, N sont aligns dans le mme ordre.
Rciproque du thorme de Thals :
Soient (d) et (d) deux droites scantes en A,
Soient B et M deux points de (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de (d), distincts de A.
Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le mme ordre,
alors les droites (BC) et (MN) sont parallles.
Exemple : Sur la figure ci-dessus, les points A, M, B et A, N, C sont aligns.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallles.
Solution :
On a : et .
Donc : .
De plus, les droites (BM) et (CN) sont scantes en A, les points C, A, N sont aligns dans le mme ordre que les points B, A, M.
Daprs la rciproque du thorme de Thals, on en dduit que les droites (BC) et (MN) sont parallles.



III. Construction de points
On peut aussi utiliser le thorme de Thals pour placer des points.
1. Construction :
Exercice :
Placer deux points A et B.
Tracer la rgle non gradue et au compas le point M du segment [AB] qui vrifie .
Solution :
- On trace une demi-droite [A).
- On choisit une ouverture de compas et on trace sur [A) sept segments conscutifs de mme longueur partir du point A. On place M et B tel que AM = 4 et AB = 7.
- On trace (BB), puis sa parallle passant par M. Elle coupe [AB] en M.


Justification :
Les droites (BM) et (BM) sont scantes en A, les droites (BB) et (MM) sont parallles.
Donc, daprs le thorme de Thals : .
Et comme (par construction), alors on a : .



2. Construction :
Exercice :
Placer deux points A et B.
Tracer la rgle non gradue et au compas les points M de la droite (AB) tels que .
Solution :
- On trace deux droites parallles (d) et (d) telles que (d) passe par A et (d) passe par B.
- On choisit une ouverture de compas et on trace sur la droite (d) deux segments conscutifs de mme longueur de part et dautre du point A. Et on trace sur la droite (d) cinq segments conscutifs de mme longueur partir du point B (on garde la mme unit).
- On place G1 et G2 sur la droite (d) tels que AG1 = AG2 = 2 et H sur la droite (d) tel que BH = 5.
- Les droites (HG1) et (HG2) coupent (AB) en M1 et M2.


Justification :
- Les droites (G2H) et (AB) sont scantes en M2. Les droites (AG2) et (BH) sont parallles.
Donc daprs le thorme de Thals, on a : . Or, , donc .
- Les droites (AB) et (G1H) sont scantes en M. Les droites (AG1) et (BH) sont parallles.
Donc daprs le thorme de Thals, on a : . Or, , donc .
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   AYOUB 13, 2008 2:10 am

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