Fonctions Linaires et Proportionnalit

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. Fonctions Linaires et Proportionnalit

   yahia 06, 2008 7:25 pm

Commenons par un exemple :
soit x la longueur d'un ct d'un carr et soit y le primtre de ce carr.
On a : y = 4x
On dit que le primtre est fonction linaire de la longueur du ct.
longueur d'un ct d'un carr x 1 2 7 10
primtre de ce carr 4x 4 8 28 40




I. Dfinition
dfinition : Soit a un nombre donn.
Lorsque l'on associe chaque nombre x le produit ax, on dfinit la fonction linaire de coefficient a.
Notation : x ax
(qui se lit 'qui x associe le nombre ax')
On dit que ax est l'image de x.
exemple : Soit f la fonction linaire qui x associe -2x. On le note encore : f(x) = -2x
-2x est l'image de x par la fonction f.
L'image de -4 par la fonction f est -4 (-2)= 8
L'image de -1 par la fonction f est -1 (-2)= 2
L'image de 0 par la fonction f est 0 (-2)= 0
L'image de 2 par la fonction f est 2 (-2)=-4
L'image de 7 par la fonction f est 7 (-2)=-14
Ces rsultats peuvent tre rsums dans le tableau suivant :

x -4 -1 0 2 7
-2x 8 2 0 -4 -14

Ce tableau est un tableau de proportionnalit : pour passer de la premire la deuxime ligne, on multiplie par -2.



II. Reprsentation graphique d'une fonction linaire
Soit f la fonction linaire dfinie par : f : x ax
L'ensemble des points de coordonnes (x ; f(x)) est appel reprsentation graphique de la fonction linaire.
Dans un repre, cette reprsentation est la droite passant par :
- l'origine du repre.
- le point de coordonnes (1 ; a)
On dit que cette droite a pour quation : y = ax.
"a" est le coefficient directeur de la droite. Il indique " l'inclinaison " de la droite.
exemple :
Traons la reprsentation graphique de la fonction linaire f(x) = 4x
f est une fonction linaire, sa reprsentation graphique est une droite (d1) qui passe par O.
Comme f(2)= 8, alors d1 passe par le point de coordonnes (2; Cool.
(en rouge sur le dessin)

Traons la reprsentation graphique de la fonction linaire g(x) = -3x
g est une fonction linaire, sa reprsentation graphique est une droite (d2) qui passe par O.
Comme g(-2)= 6, alors d2 passe par le point de coordonnes (-2; 6).
(en bleu sur le dessin)





III. Mthode : dterminer une fonction linaire
Une fonction linaire est dtermine ds que l'on connat un nombre (non nul) et son image. Il suffit alors de calculer son coefficient a.

exemple : Dterminer la fonction linaire f dont l'image de 7 est 28. Ce qui se traduit par : f(7)= 28
Or, f est une fonction linaire, donc de la forme : f(x) = ax.
Donc :
a 7 = 28
a = 28/7 = 4
La fonction f est une fonction linaire de coefficient 4, c'est--dire :
f : x 4x



IV. Application aux pourcentages
1. augmentation en pourcentage et fonction linaire
Un article subit une augmentation de 10%. Sachant que son prix initial tait de 50 euros, son prix aprs augmentation est de :
50 + (10/100) 50 = 50 + 0,1 50 = 50 + 5 = 55
Aprs augmentation, l'article cote 55 euros.
Gnralisation :
Un article subit une augmentation de 10%. Sachant que son prix initial tait de x euros, son prix aprs augmentation est de :
x + (10/100)x = x + 0,1x = 1,1 x
Prix avant augmentation de 10% : x
Prix aprs augmentation : y = 1,1 x
D'o la fonction linaire associe : x 1,1 x



2. diminution en pourcentage et fonction linaire
Un article subit une diminution de 20%. Sachant que son prix initial tait de 50 euros, son prix aprs diminution est de :
50 - (20/100) 50 = 50 - 0,2 50 = 50 - 10 = 40
Aprs diminution, l'article cote 40 euros.
Gnralisation :
Un article subit une diminution de 20%. Sachant que son prix initial tait de x euros, son prix aprs diminution est de :
x - [20/100]x = x - 0,2x = 0,8 x
Prix avant diminution de 20% : x
Prix aprs diminution : y = 0,8 x
D'o la fonction linaire associe : x 0,8 x
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