Fonctions Linéaires et Proportionnalité

Commençons par un exemple :
soit x la longueur d'un côté d'un carré et soit y le périmètre de ce carré.
On a : y = 4x
On dit que le périmètre est fonction linéaire de la longueur du côté.
longueur d'un côté d'un carré x 1 2 7 10
périmètre de ce carré 4x 4 8 28 40




I. Définition
définition : Soit a un nombre donné.
Lorsque l'on associe à chaque nombre x le produit ax, on définit la fonction linéaire de coefficient a.
Notation : x ax
(qui se lit 'qui à x associe le nombre ax')
On dit que ax est l'image de x.
exemple : Soit f la fonction linéaire qui à x associe -2x. On le note encore : f(x) = -2x
-2x est l'image de x par la fonction f.
L'image de -4 par la fonction f est -4 ×(-2)= 8
L'image de -1 par la fonction f est -1 ×(-2)= 2
L'image de 0 par la fonction f est 0 ×(-2)= 0
L'image de 2 par la fonction f est 2 ×(-2)=-4
L'image de 7 par la fonction f est 7 ×(-2)=-14
Ces résultats peuvent être résumés dans le tableau suivant :

x -4 -1 0 2 7
-2x 8 2 0 -4 -14

Ce tableau est un tableau de proportionnalité : pour passer de la première à la deuxième ligne, on multiplie par -2.



II. Représentation graphique d'une fonction linéaire
Soit f la fonction linéaire définie par : f : x ax
L'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.
Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :
- l'origine du repère.
- le point de coordonnées (1 ; a)
On dit que cette droite a pour équation : y = ax.
"a" est le coefficient directeur de la droite. Il indique " l'inclinaison " de la droite.
exemple :
Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = 4x
f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d1) qui passe par O.
Comme f(2)= 8, alors d1 passe par le point de coordonnées (2; .
(en rouge sur le dessin)

Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = -3x
g est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d2) qui passe par O.
Comme g(-2)= 6, alors d2 passe par le point de coordonnées (-2; 6).
(en bleu sur le dessin)





III. Méthode : déterminer une fonction linéaire
Une fonction linéaire est déterminée dès que l'on connaît un nombre (non nul) et son image. Il suffit alors de calculer son coefficient a.

exemple : Déterminer la fonction linéaire f dont l'image de 7 est 28. Ce qui se traduit par : f(7)= 28
Or, f est une fonction linéaire, donc de la forme : f(x) = ax.
Donc :
a ×7 = 28
a = 28/7 = 4
La fonction f est une fonction linéaire de coefficient 4, c'est-à-dire :
f : x 4x



IV. Application aux pourcentages
1. augmentation en pourcentage et fonction linéaire
Un article subit une augmentation de 10%. Sachant que son prix initial était de 50 euros, son prix après augmentation est de :
50 + (10/100) ×50 = 50 + 0,1 × 50 = 50 + 5 = 55
Après augmentation, l'article coûte 55 euros.
Généralisation :
Un article subit une augmentation de 10%. Sachant que son prix initial était de x euros, son prix après augmentation est de :
x + (10/100)x = x + 0,1x = 1,1 x
Prix avant augmentation de 10% : x
Prix après augmentation : y = 1,1 x
D'où la fonction linéaire associée : x 1,1 x



2. diminution en pourcentage et fonction linéaire
Un article subit une diminution de 20%. Sachant que son prix initial était de 50 euros, son prix après diminution est de :
50 - (20/100) × 50 = 50 - 0,2 × 50 = 50 - 10 = 40
Après diminution, l'article coûte 40 euros.
Généralisation :
Un article subit une diminution de 20%. Sachant que son prix initial était de x euros, son prix après diminution est de :
x - [20/100]x = x - 0,2x = 0,8 x
Prix avant diminution de 20% : x
Prix après diminution : y = 0,8 x
D'où la fonction linéaire associée : x 0,8 x