Inéquations & Electoménager

Un problème de programmation linéaire
indication : pour les échelles des différents graphiques, il est conseillé de prendre un centimètre pour dix unités.



Exercice 1
Introduction : Inéquations à deux inconnues
On donne les quatre points E, A, B, C caractérisés par leurs coordonnées :
E(20 ; 10) A(20 ; 50) B(40 ; 30) C(50 ; 10).
1°) Placer ces points dans un repère puis tracer le polygone EABC.
2°) Ecrire les équations de droites (EA), (EC), (AB), (BC).
3°) Ecrire le système de quatre inéquations permettant de caractériser un point intérieur au polygone EABC.






Exercice 2
Problème
Dans une usine, on assemble des téléviseurs et des machines à laver. Les pièces détachées sont fournies par un grossiste.
Etudions la production journalière de cette usine.
1°) L'assemblage
Les dix ouvriers de l'usine travaillent chacun 7 heures par jour.
Un ouvrier met 1 heure pour assembler et régler un téléviseur. Il met également 1 heure pour assembler une machine à laver.
Si on appelle x le nombre de téléviseurs assemblés et y le nombre de machines à laver assemblées en un jour, traduire par une inéquation le fait qu'on ne dépasse pas la durée totale de travail journalier.

2°) Le coût
Les pièces détachées nécessaires ont un coût respectif de 800 F pour un téléviseur et 400 F pour une machine à laver.
Les services financiers ne permettent pas de dépasser une dépense journalière de 44000 F.
Quel est le prix de revient des pièces nécessaires à la fabrication de x téléviseurs et y machines à laver ?
Traduire par une inéquation cette contrainte de budget.

3°) Les stocks
On estime qu'afin de pouvoir satisfaire aux commandes inopinées, il faut au moins un stock de 20 téléviseurs et 10 machines à laver chaque jour.
Traduire par deux inéquations ces nouvelles exigences.

4°) Résolution
Les inéquations écrites représentent simultanément le " système de contraintes " de la production.
Résoudre graphiquement ce système d'inéquations, et constater que les points à coordonnées entières qui se trouvent à l'intérieur d'un polygone correspondent effectivement à un nombre de téléviseurs et de machines à laver qu'il est possible de produire en une journée.
Indiquer toutes les solutions correspondant à x et y multiples de 10.

5°) Les bénéfices
L'usine revend les téléviseurs et les machines à laver avec un bénéfice net de 600 F pour un téléviseur et de 400 F pour une machine à laver.
Calculer le bénéfice net correspondant à la fabrication de 30 téléviseurs et 20 machines à laver.
Si on a fabriqué x téléviseurs et y machines à laver, calculer le bénéfice B en fonction de x et y.
Que faut-il produire pour avoir un bénéfice de 26 000 F ?
Tracer sur le graphique précédent la droite correspondant à un bénéfice de 32 000 F et la droite correspondant à un bénéfice de 34 000 F.
Prouver que ces deux droites sont parallèles.
Existe-t-il une production optimale pour laquelle le bénéfice est maximum ?
Quel est alors le nombre de téléviseurs et le nombre de machines à laver produits en une journée ?